Số chính phương trong toán học là số mà có căn bậc 2 của nó là một số tự nhiên hay nói theo cách khác thì số chính phương là kết quả của bình phương luỹ thừa bậc 2 của một số tự nhiên. Số chính phương còn được gọi là số hình vuông bởi vì diện tích của một hình vuông được tính bằng bình phương chiều dài 1 cạnh của nó cho nên diện tích của một hình vuông luôn luôn là một số chính phương. Với số nguyên bao gồm các số nguyên dương (1, 2, 3.) các số nguyên âm (-1, -2, -3.) và số 0. Ví dụ: 4 = 2² 9 = 3² 16 = 4² 25 = 5² 36 = 6² 49 = 7² 64 = 8² 81 = 9² 100 = 10² 121 = 11² Vậy 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121.. là các số chính phương. 1 có phải là số chính phương? 1 thỏa mãn các yếu tố trên nên nó là 1 số chính phương. Số chính phương chẵn: Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu như nó là bình phương của một số chẵn. Ví dụ: 4, 16, 36, 64, 100, 144.. là các số chính phương chẵn. Số chính phương lẻ: Một số chính phương được gọi là số chính phương lẻ nếu như nó là bình phương của một số lẻ. Ví dụ: 9, 25, 49, 81, 121.. là các số chính phương lẻ. Đặc điểm: Số chính phương chỉ có thể có chữ tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể có tận cùng là 2, 3, 7, 8 Số chính phương chỉ có 4 dạng sau: Dạng 4n hoặc dạng 4n + 1 Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 Dạng 3n hoặc dạng 3n + 1 Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 Với n là một số tự nhiên bất kỳ. Tính chất của một số chính phương: Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2 Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4 Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2; số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1 Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: A^2-b^2= (a+b) x (a-b) Số ước nguyên dương của số chính phương là một số lẻ Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p^2 Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 +7, 1 + 3 + 5 +7 +9.. Các ví dụ cụ thể về số chính phương: Các chuyên đề toán ở trung học đã có rất nhiều dạng bài tập về số chính phương. Dựa theo khái niệm và tính chất phía trên, ta có một số ví dụ về số chính phương như sau: 4= 2^2 là một số chính phương chẵn 9= 3^2 là một số chính phương lẻ 16= 4^2 là một số chính phương chẵn 25 = 5^2 là một số chính phương lẻ 36= 6^2 là một số chính phương chẵn 225 = 15^2 là một số chính phương lẻ 289 = 17^2 là một số chính phương lẻ 576 = 24^2 là một số chính phương chẵn 1.000.000= 1.000^2 là một số chính phương chẵn Một số bài toán về số chính phương: Chứng minh một số không phải là số chính phương Ví dụ 1: Chứng minh số n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là số chính phương. Lời giải: Ta thấy chữ số tận cùng của các số 20042, 20032, 20022, 20012 lần lượt là 6, 9, 4, 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương. Ví dụ 2: Chứng minh 1234567890 không phải là số chính phương. Lời giải: Ta thấy số 1234567890 chia hết cho 5 vì chữ số tận cùng là 0 nhưng lại không chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng là 90. Vì vậy, số 1234567890 không phải là số chính phương. Chứng minh một số là số chính phương Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n thì an = n (n+1) (n+2) (n+3) + 1 là số chính phương. Lời giải: Ta có: An = n (n+1) (n+2) (n+3) + 1 = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n) 2+ 2 (n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1) 2 Với n là số tự nhiên thì (n2 + 3n + 1) 2 cũng là số tự nhiên, vì vậy, an là số chính phương.
